2013年安徽省高考数学试卷(理科)

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  2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只要一个合适题 目要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单元, 是复数 z 的共轭复数,若(z? )i+2=2z,则 z= ( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 2. (5 分) (2013?安徽)如图所示,法式框图(算法流程图)的输出成果是( ) A. B. C. D. 3. (5 分) (2013?安徽)鄙人列命题中,不是的是( ) A.平行于统一个平面的两个平面平行 B.过不正在统一曲线上的三个点,有且只要一个平面 C.若是一条曲线上的两点正在统一个平面内,那么这条曲线上所有点都正在此平面内 D.若是两个不沉合的平面有一个公共点,那么它们有且只要一条过该点的公共曲线”是“函数 f(x)=(ax﹣1)x正在区间(0,+∞)内枯燥递增” 的( ) A.充实不需要前提 B.需要不充实前提 C.充实需要前提 D.既不充实也不需要前提 5. (5 分) (2013?安徽)某班级有 50 论理学生,此中有 30 名男生和 20 名女生,随机扣问了 该班五名男生和五名女生正在某次数学考试中的成就,五名男生的成就别离为 86,94,88, 92,90,五名女生的成就别离为 88,93,93,88,93,下列说法准确的是( ) A.这种抽样方式是一种分层抽样 B.这种抽样方式是一种系统抽样 C.这五名男生成就的方差大于这五名女生成就的方差 D.该班男生成就的平均数大于该班女生成就的平均数 6. (5 分) (2013?安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{xx<﹣1 或 x> },则 f(10 )>0 的解集为( ) A.{xx<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x﹣1<x<﹣lg2} C.{xx>﹣lg2} D.{xx<﹣lg2} 7. (5 分) (2013?安徽) 正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂曲于极轴的两条切线方程别离为 ( x ) 第 1 页(共 22 页) A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 C.θ= B.θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 8. (5 分) (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,正在区间[a,b]上可找到 n(n≥2) 个分歧的数 x1, x2, …, xn, 使得 =…= , 则 n 的取值范畴是 ( ) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} = ) 9. (5 分) (2013?安徽)正在平面曲角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满脚 = ? =2, 则点集{P =λ +μ , λ+μ≤1, λ, μ∈R}所暗示的区域的面积是 ( A. B. C. D. 3 2 10. (5 分) (2013?安徽)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1<x2, 2 则关于 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的分歧实根个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把谜底填写正在答题卡上 11. (5 分) (2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a= 4 . 12. (5 分) (2013?安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长别离为 a,b,c,若 b+c=2a, 3sinA=5sinB,则角 C= . 2 13. (5 分) (2013?安徽)已知曲线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存正在点 C,使得∠ACB 为曲角,则 a 的取值范畴为 . 14. (5 分) (2013?安徽)如图,互不不异的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,… 别离正在角 O 的两条边上,所有 AnBn 彼此平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 . 第 2 页(共 22 页) 15. (5 分) (2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正 确的是 (写出所有准确命题的编号) . ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③当 CQ= 时,S 取 C1D1 的交点 R 满脚 C1R= ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字申明、证明过程或演算骤 16. (12 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ π. (1)求 ω 的值; (2)会商 f(x)正在区间[0, ]上的枯燥性. 2 2 ) (ω>0)的最小正周期为 17. (12 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,此中 a>0,区间 I={xf(x)> 0} (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α) ; (Ⅱ)给定 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 18. (12 分) (2013?安徽)设椭圆 E: (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; 第 3 页(共 22 页) 的核心正在 x 轴上 (2)设 F1,F2 别离是椭圆 E 的左、左核心,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,曲线P 交 y 轴于点 Q,而且 F1P⊥F1Q,证明:当 a 变化时,点 P 正在某定曲线?安徽)如图,圆锥极点为 P,底面圆心为 O,其母线°,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 取平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 取平面 PCD 的交线)求 cos∠COD. 20. (13 分) (2013?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ + +…+ (x∈R,n∈N+) ,证明: (1)对每个 n∈N+,存正在独一的 x∈[ ,1],满脚 fn(xn)=0; (2)对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 形成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 21. (13 分) (2013?安徽)某高校数学系打算正在周六和周日各举行一次从题分歧的心理测试 勾当,别离由和张教员担任,已知该系共有 n 位学生,每次勾当均需该系 k 位学生参 加(n 和 k 都是固定的正整数) ,假设和张教员别离将各自勾当通知的消息、随 机地发给该系 k 位学生, 且所发消息都能收到, 记该系收到或张教员所发勾当通知信 息的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到或张教员所发勾当通知消息的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 第 4 页(共 22 页) 2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 参考谜底取试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只要一个合适题 目要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单元, 是复数 z 的共轭复数,若(z? )i+2=2z,则 z= ( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 【阐发】设出复数 z=a+bi(a,b∈R) ,代入 于 a,b 的方程组求解 a,b,则复数 z 可求. 【解答】解:设 z=a+bi(a,b∈R) ,则 , 由 ,得(a+bi) (a﹣bi)i+2=2(a+bi) , 2 2 拾掇得 2+(a +b )i=2a+2bi. 则 ,解得 . 后拾掇,操纵复数相等的前提列关 所以 z=1+i. 故选 A. 【点评】本题考查了复数代数形式的夹杂运算,考查了复数相等的前提,两个复数相等,当 且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是根本题. 2. (5 分) (2013?安徽)如图所示,法式框图(算法流程图)的输出成果是( ) A. B. C. D. 【阐发】阐发法式中各变量、各语句的感化,阐发可知:该法式的感化是计较并输出 S= + + 的值,并输出. 【解答】解:阐发法式中各变量、各语句的感化, 再按照流程图所示的挨次,可知: 该法式的感化是计较并输出 S= + + 的值 第 5 页(共 22 页) ∵S= + + = . 故选 D. 【点评】按照流程图(或伪代码)写法式的运转成果,是算法这一模块最主要的题型,其处 理方式是: :①阐发流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要阐发出计较的类型, 又要阐发出参取计较的数据 (若是参取运算的数据比力多, 也可利用表格对数据进行阐发管 理)? ②成立数学模子,按照第一步阐发的成果,选择得当的数学模子③解模. 3. (5 分) (2013?安徽)鄙人列命题中,不是的是( ) A.平行于统一个平面的两个平面平行 B.过不正在统一曲线上的三个点,有且只要一个平面 C.若是一条曲线上的两点正在统一个平面内,那么这条曲线上所有点都正在此平面内 D.若是两个不沉合的平面有一个公共点,那么它们有且只要一条过该点的公共曲线 【阐发】按照的定答即可.颠末人类持久频频的实践查验是实正在的,不需要由其他 判断加以证明的命题和道理就是. 【解答】解:B,C,D 颠末人类持久频频的实践查验是实正在的,不需要由其他判断加以证 明的命题和道理故是; 而 A 平行于统一个平面的两个平面平行是不是. 故选 A. 【点评】本题考查了的意义,比力简单. 4. (5 分) (2013?安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=(ax﹣1)x正在区间(0,+∞)内枯燥递增” 的( ) A.充实不需要前提 B.需要不充实前提 C.充实需要前提 D.既不充实也不需要前提 【阐发】对 a 分类会商,操纵二次函数的图象取枯燥性、充要前提即可判断出. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=x,正在区间(0,+∞)内枯燥递增. 当 a<0 时, , 连系二次函数图象可知函数 f(x)=(ax﹣1)x正在区间(0,+∞)内枯燥递增. 若 a>0,则函数 f(x)=(ax﹣1)x,其图象如图 它正在区间(0,+∞)内有增有减, 从而若函数 f(x)=(ax﹣1)x正在区间(0,+∞)内枯燥递增则 a≤0. ∴a≤0 是”函数 f(x)=(ax﹣1)x正在区间(0,+∞)内枯燥递增”的充要前提. 故选:C. 第 6 页(共 22 页) 【点评】本题考查了二次函数的图象取枯燥性、充要前提,考查了数形连系的思惟方式,考 查了推理能力取计较能力,属于中档题. 5. (5 分) (2013?安徽)某班级有 50 论理学生,此中有 30 名男生和 20 名女生,随机扣问了 该班五名男生和五名女生正在某次数学考试中的成就,五名男生的成就别离为 86,94,88, 92,90,五名女生的成就别离为 88,93,93,88,93,下列说法准确的是( ) A.这种抽样方式是一种分层抽样 B.这种抽样方式是一种系统抽样 C.这五名男生成就的方差大于这五名女生成就的方差 D.该班男生成就的平均数大于该班女生成就的平均数 【阐发】按照抽样方式可知,这种抽样方式是一种简单随机抽样.按照平均数的定义:平均 数是指正在一组数据中所无数据之和再除以数据的个数;方差公式:s = [(x1﹣ ) +(x2 ﹣ ) +…+(xn﹣ ) ]求解即可. 【解答】解:按照抽样方式可知,这种抽样方式是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= ×[(86﹣90) +(94﹣90) +(88﹣90) +(92﹣90) +(90﹣90) ]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= ×[(88﹣91) +(93﹣91) +(93﹣91) +(88﹣91) +(93﹣91) ]=6. 故这五名男生成就的方差大于这五名女生成就的方差. 故选:C. 【点评】本题考查了抽样方式、平均数以及方差的求法,要想求方差,必需先求出这组数据 的平均数,然后再按照方差公式求解. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. (5 分) (2013?安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{xx<﹣1 或 x> },则 f(10 )>0 的解集为( ) A.{xx<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x﹣1<x<﹣lg2} C.{xx>﹣lg2} D.{xx<﹣lg2} 【阐发】由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的枯燥性可得解集. x x x 第 7 页(共 22 页) 【解答】解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x﹣1<x< }, 故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)必然有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 < x x x x x ,即 10 <10 x ﹣lg2 , 由指数函数的枯燥性可知:x<﹣lg2 故选:D 【点评】 本题考查一元二次不等式的解集, 涉及对数函数的枯燥性及对数的运算, 属中档题. 7. (5 分) (2013?安徽) 正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂曲于极轴的两条切线方程别离为 ( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 C.θ= B.θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 ) (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 【阐发】操纵圆的极坐标方程和曲线的极坐标方程即可得出. 【解答】解:如图所示,正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 是以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 故圆的两条切线方程别离为 故选 B. (ρ∈R) ,ρcosθ=2. 【点评】准确理解圆的极坐标方程和曲线的极坐标方程是解题的环节》 8. (5 分) (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,正在区间[a,b]上可找到 n(n≥2) 个分歧的数 x1, x2, …, xn, 使得 =…= , 则 n 的取值范畴是 ( ) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 第 8 页(共 22 页) 【阐发】由 暗示(x,f(x) )点取原点连线的斜率,连系函数 y=f(x)的图象,数形 连系阐发可得谜底. 【解答】解:令 y=f(x) ,y=kx, 做曲线 y=kx,能够得出 2,3,4 个交点, 故 k= (x>0)可别离有 2,3,4 个解. 故 n 的取值范畴为 2,3,4. 故选 B. 【点评】本题考查的学问点是斜率公式,准确理解 斜率是解答的环节. 暗示(x,f(x) )点取原点连线?安徽)正在平面曲角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满脚 = A. ? =2, 则点集{P B. C. =λ D. = +μ , λ+μ≤1, λ, μ∈R}所暗示的区域的面积是 ( = ) 【阐发】由两定点 A,B 满脚 =2,申明 O,A,B 三点形成边长为 2 的等边三角形,设出两个定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量根基,把 P 的坐 标用 A,B 的坐标及 λ,μ 暗示,把不等式λ+μ≤1 去绝对值后可得线性束缚前提,画出 可行域可求点集 P 所暗示区域的面积. 【解答】解:由两定点 A,B 满脚 2 = =2, = ﹣ ,则 =( 2 ﹣ )= ﹣2 ? + =4,则 =2,申明 O,A,B 三点形成边长为 2 的等 边三角形. 不妨设 A( 由 ) ,B( ,得: . ) .再设 P(x,y) . 所以 ,解得 ①. 由λ+μ≤1. 第 9 页(共 22 页) 所以①等价于 或 或 或 . 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域, 则区域面积为 . 故选 D. 【点评】本题考查了平面向量的根基及其意义,考查了二元一次不等式(组)所暗示的 平面区域,考查了数学思惟方式,解答此题的环节正在于读懂题意,属中档题. 10. (5 分) (2013?安徽)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1<x2, 2 则关于 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的分歧实根个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2 【阐发】求导数 f′(x) ,由题意知 x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的方 2 程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 有两个根,做出草图,由图象可得谜底. 2 2 【解答】解:f′(x)=3x +2ax+b,x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根, 2 由 3(f(x) ) +2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1) ,x2>x1=f(x1) , 如下示企图象: 如图有三个交点, 故选 A. 3 2 第 10 页(共 22 页) 【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形连系思惟. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把谜底填写正在答题卡上 11. (5 分) (2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a= 4 . 【阐发】操纵二项式的通项公式即可得出. 【解答】解:由通项公式 Tr+1= = , ∵ 的展开式中 x 的系数为 7,∴ 4 ,解得 . 故谜底为 . 【点评】熟练控制二项式的通项公式是解题的环节. 12. (5 分) (2013?安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长别离为 a,b,c,若 b+c=2a, 3sinA=5sinB,则角 C= . 【阐发】由 3sinA=5sinB,按照正弦,可得 3a=5b,再操纵余弦,即可求得 C. 【解答】解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦,可得 3a=5b, ∴a= ∵b+c=2a, ∴c= ∴cosC= ∵C∈(0,π) ∴C= 故谜底为: =﹣ 【点评】本题考查正弦、余弦的使用,考查学生的计较能力,属于根本题. 13. (5 分) (2013?安徽)已知曲线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存正在点 C,使得∠ACB 为曲角,则 a 的取值范畴为 [1,+∞) . 【阐发】如图所示,可知 A 正在点 C,使得∠ACB 为曲角,可得 【解答】解:如图所示,可知 A ,B ,设 C(m,m ) ,由该抛物线.即可获得 a 的取值范畴. ,B 第 11 页(共 22 页) , 设 C(m,m ) , 2 , . ∵该抛物线上存正在点 C,使得∠ACB 为曲角, ∴ 2 = 2 2 . 化为 m ﹣a+(m ﹣a) =0. 2 ∵m ,∴m =a﹣1≥0,解得 a≥1. ∴a 的取值范畴为[1,+∞) . 故谜底为[1,+∞) . 【点评】本题考查了若何暗示抛物线上点的坐标、垂曲于数量积得关系等根本学问,考查了 推理能力和计较能力. 14. (5 分) (2013?安徽)如图,互不不异的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,… 别离正在角 O 的两条边上,所有 AnBn 彼此平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 . 【阐发】设 ,操纵已知可得 A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,获得 = = ,梯形 A1B1B2A2 的面积=3S.由已知可得梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S.操纵相 似三角形的性质面积的比等于类似比的平方可得: , , , …, 已知 , ,可得 ,….因而数列{ }是一个首项为 1,公役为 3 等差数列, 即可获得 an. 第 12 页(共 22 页) 【解答】解:设 ,∵OA1=a1=1,OA2=a2=2,A1B1∥A2B2, ∴A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线, ∴ 故梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S. = = , ∴梯形 A1B1B2A2 的面积=3S. ∵所有 AnBn 彼此平行,∴所有△OAnBn(n∈N )都类似,∴ * , , ,…, ∵ ∴数列{ ∴ ,∴ , ,…. =1+(n﹣1)×3=3n﹣2. }是一个等差数列,其公役 d=3,故 . . 因而数列{an}的通项公式是 故谜底为 . 【点评】本题分析考查了三角形的中位线、类似三角形的性质、等差数列的通项公式等 根本学问和根基技术,考查了推理能力和计较能力. 15. (5 分) (2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正 确的是 ①②③⑤ (写出所有准确命题的编号) . ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③当 CQ= 时,S 取 C1D1 的交点 R 满脚 C1R= ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 . 第 13 页(共 22 页) 【阐发】由题意做出满脚前提的图形,由线面关系找出截面可判断选项的正误. 【解答】解:如图 当 CQ= 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ∥AD1,AP=QD1= 故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故②准确; 由上图当点 Q 向 C 挪动时,满脚 0<CQ< ,只需正在 DD1 上取点 M 满脚 AM∥PQ, 即可得截面为四边形 APQM,故①准确; ③当 CQ= 时,如图, = , 耽误 DD1 至 N,使 D1N= ,毗连 AN 交 A1D1 于 S,毗连 NQ 交 C1D1 于 R,毗连 SR, 可证 AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得 C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得 C1R= , 故准确; ④由③可知当 <CQ<1 时, 只需点 Q 上移即可, 此时的截面外形仍然上图所示的 APQRS, 明显为五边形,故错误; ⑤当 CQ=1 时,Q 取 C1 沉合,取 A1D1 的中点 F,毗连 AF,可证 PC1∥AF,且 PC1=AF, 可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 AC1?PF= = ,故准确. 故谜底为:①②③⑤. 【点评】本题考查命题的判断取使用,涉及正方体的截面问题,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字申明、证明过程或演算骤 16. (12 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ π. 第 14 页(共 22 页) ) (ω>0)的最小正周期为 (1)求 ω 的值; (2)会商 f(x)正在区间[0, ]上的枯燥性. 【阐发】 (1)先操纵和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的 形式,通过函数的周期,求实数 ω 的值; (2)因为 x 是[0, f(x)正在区间[0, ]范畴内的角,获得 2x+ ]上的枯燥性. )=2 )+ , sinωx?cosωx+2 cos ωx 2 的范畴,然后通过正弦函数的枯燥性求出 【解答】解: (1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ω=1. )+ , =2sin(2ωx+ 所以 T= (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 由于 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤ ≤2x+ ≤ , 时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤ 时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上枯燥减. 所以 f(x)正在区间[0, ]上枯燥增,正在区间[ 【点评】本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的使用,留意三角函数值的变换,考查计 算能力,常考题型. 17. (12 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,此中 a>0,区间 I={xf(x)> 0} (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α) ; (Ⅱ)给定 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 【阐发】 (Ⅰ)解不等式 f(x)>0 可得区间 I,由区间长度定义可得 I 的长度; (Ⅱ)由(Ⅰ)构制函数 d(a)= ,操纵导数可判断 d(a)的枯燥性,由枯燥性可判 2 2 断 d(a)的最小值必定正在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,通过做商比力可得谜底. 【解答】解: (Ⅰ)由于方程 ax﹣(1+a )x =0(a>0)有两个实根 x1=0, 故 f(x)>0 的解集为{xx1<x<x2}, 因而区间 I=(0, ) ,区间长度为 ; 2 2 >0, (Ⅱ)设 d(a)= ,则 d′(a)= , 第 15 页(共 22 页) 令 d′(a)=0,得 a=1,因为 0<k<1, 故当 1﹣k≤a<1 时,d′(a)>0,d(a)枯燥递增;当 1<a≤1+k 时,d′(a)<0,d(a) 枯燥递减, 因而当 1﹣k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定正在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得, 而 = <1,故 d(1﹣k)<d(1+k) , 因而当 a=1﹣k 时,d(a)正在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值 ,即 I 长度的最小值 为 . 【点评】本题考查二次不等式的求解,以及导数的计较和使用等根本学问和根基技术,考查 分类会商思惟和分析使用数学学问处理问题的能力. 18. (12 分) (2013?安徽)设椭圆 E: (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; 的核心正在 x 轴上 (2)设 F1,F2 别离是椭圆 E 的左、左核心,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,曲线P 交 y 轴于点 Q,而且 F1P⊥F1Q,证明:当 a 变化时,点 P 正在某定曲线) 操纵椭圆的尺度方程和几何性质即可得出 (2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,此中 , 解出即可; .操纵斜率的计较公式 和点斜式即可得出曲线P 的斜率 = , 曲线P 的方程为 . 即 可得出 Q .获得曲线Q 的斜率 = .操纵 F1Q⊥F1P,可得 = 解出点 P 的坐标. .化为 .取椭圆的方程联当即可 【解答】解: (1)∵椭圆 E 的焦距为 1,∴ ,解得 . 故椭圆 E 的方程为 . . (2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,此中 第 16 页(共 22 页) 由题设可知:x0≠c.则曲线P 的斜率 = ,曲线P 的斜率 = . 故曲线P 的方程为 . 令 x=0,解得 .即点 Q . 因而曲线Q 的斜率 = . ∵F1Q⊥F1P,∴ 化为 . = . 联立 ,及 x0>0,y0>0, 解得 , . 即点 P 正在定曲线 上. 【点评】本题次要考查了椭圆的尺度方程及其几何性质,曲线和曲线、曲线和椭圆的关 系等根本学问和根基技术,考查了数形连系的思惟、推理能力和计较能力,属于难题. 19. (13 分) (2013?安徽)如图,圆锥极点为 P,底面圆心为 O,其母线°,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 取平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 取平面 PCD 的交线)求 cos∠COD. 【阐发】 (1)操纵线面平行的鉴定取性质,可证平面 PAB 取平面 PCD 的交线)先做出 OP 取平面 PCD 所成的角,再求出 OC,OF,求出 cos∠COF,操纵二倍角公 式,即可求得 cos∠COD. 【解答】 (1)证明:设平面 PAB 取平面 PCD 的交线为 l,则 ∵AB∥CD,AB?平面 PCD,∴AB∥平面 PCD ∵AB? 面 PAB,平面 PAB 取平面 PCD 的交线为 l,∴AB∥l ∵AB 正在底面上,l 正在底面外 第 17 页(共 22 页) ∴l 取底面平行; (2)解:设 CD 的中点为 F,毗连 OF,PF 由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD ∵OP⊥底面,CD? 底面,∴OP⊥CD ∵OP∩OF=O ∴CD⊥平面 OPF ∵CD? 平面 PCD ∴平面 OPF⊥平面 PCD ∴曲线 OP 正在平面 PCD 上的射影为曲线 PF ∴∠OPF 为 OP 取平面 PCD 所成的角 由题设,∠OPF=60° 设 OP=h,则 OF=OPtan∠OPF= ∵∠OCP=22.5°,∴ ∵tan45°= ∴tan22.5°= ∴OC= = = 2 =1 正在 Rt△OCF 中,cos∠COF= = ∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos ∠COF﹣1=17﹣12 【点评】本题考查线面平行的鉴定取性质,考查空间角,考查学生的计较能力,准确找出线?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ + +…+ (x∈R,n∈N+) ,证明: (1)对每个 n∈N+,存正在独一的 x∈[ ,1],满脚 fn(xn)=0; (2)对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 形成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 【阐发】 (1)由题意可得 f′(x)>0,函数 f(x)正在(0,+∞)上是增函数.求得 fn(1) >0,fn( )<0,再按照函数的零点的鉴定,可得要证的结论成立. (2)由题意可得 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 正在(0,+∞)上枯燥 递增,可得 xn+1<xn,故 xn﹣xn+p>0.用 fn(x)的解析式减去 fn+p (xn+p)的解析式, 第 18 页(共 22 页) 变形可得 xn﹣xn+p= ,综上可得要证的结论成立. + ,再进行放大,并裂项乞降,可得它小于 【解答】证明: (1)对每个 n∈N+,当 x>0 时,由函数 fn(x)=﹣1+x+ ) ,可得 f′(x)=1+ + +… >0,故函数 f(x)正在(0,+∞)上是增函数. + +…+ >0,即 fn(1)>0. 因为 f1(x1)=0,当 n≥2 时,fn(1)= 又 fn( )=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣ + ? =﹣ + × =﹣ ? <0, 按照函数的零点的鉴定,可得存正在独一的 xn ,满脚 fn(xn)=0. (2) 对于肆意 p∈N+, 由 (1) 中 xn 形成数列{xn}, 当 x>0 时, ∵fn+1 (x) =fn (x) + >fn(x) , ∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x) 正在(0,+∞)上枯燥递增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故数列{xn}为减 数列,即对肆意的 n、p∈N+,xn﹣xn+p>0. 因为 fn(xn)=﹣1+xn+ + +…+ =0 ①, fn+p (xn+p)=﹣1+xn+p+ + +…+ +[ + +…+ ]②, 用①减去②并移项,操纵 0<xn+p≤1,可得 xn﹣xn+p= < . + ≤ ≤ < = 第 19 页(共 22 页) 综上可得,对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 形成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 【点评】本题次要考查函数的导数及使用,函数的零点的鉴定,等比数列乞降以及用放缩法 证明不等式,还考查推理以及运算求解能力,属于难题. 21. (13 分) (2013?安徽)某高校数学系打算正在周六和周日各举行一次从题分歧的心理测试 勾当,别离由和张教员担任,已知该系共有 n 位学生,每次勾当均需该系 k 位学生参 加(n 和 k 都是固定的正整数) ,假设和张教员别离将各自勾当通知的消息、随 机地发给该系 k 位学生, 且所发消息都能收到, 记该系收到或张教员所发勾当通知信 息的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到或张教员所发勾当通知消息的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 【阐发】 (I)由题设,两位教员发送消息是的,要计较该系学生甲收到或张教员 所发勾当通知消息的概率可先计较其对立事务, 该生没有接到任一位教员发送的消息的概率, 操纵概率的性质求解; (II)由题意,要先研究随机变量 X 的取值范畴,因为 k≤n 故要分两类 k=n 取 k<n 进行研 究,k=n 时易求,k<n 时,要研究出同时接遭到两位教员消息的人数,然后再研究事务所 包含的根基事务数,暗示出 P(X=m) ,再按照其形式研究它取得最大值的整数 m 即可. 【解答】解: (I)由于事务 A:“学生甲收到所发消息”取事务 B:“学生甲收到张教员 所发消息”是彼此事务,所以 取 彼此,因为 P(A)=P(B)= ( )=P( )=1﹣ , 2 = ,故 P 因而学生甲收到勾当消息的概率是 1﹣(1﹣ ) = (II)当 k=n 时,m 只能取 n,此时有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k<n 时,整数 m 满脚 k≤m≤t,此中 t 是 2k 和 n 中的较小者,因为“取张教员各 自、随机地发送勾当消息给 k 位”所包含的根基事务总数为( ) ,当 X=m 时,同时 2 收到两位教员所发消息的学生人数为 2k﹣m, 仅收到或张教员转发消息的学生人数为 m﹣k,由乘法道理知:事务{X=m}所包含的根基事务数为 P(X=m)= = 2 当 k≤m<t 时, P (X=M) <P (X=M+1) ? (m﹣k+1)≤ (n﹣m) (2k﹣m) ?m≤2k﹣ 假如 k≤2k﹣ <t 成立,则当(k+1) 能被 n+2 整除时, 2 第 20 页(共 22 页) k≤2k﹣ <2k+1﹣ 处达到最大值; <t,故 P(X=M)正在 m=2k﹣ 和 m=2k+1﹣ 当(k+1) 不克不及被 n+2 整除时,P(X=M)正在 m=2k﹣[ 暗示不跨越 x 的最大整数) , 下面证明 k≤2k﹣ <t 2 ]处达到最大值(注:[x] 由于 1≤k<n,所以 2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0 而 2k﹣ ﹣n= <0,故 2k﹣ <n,明显 2k﹣ <2k 因而 k≤2k﹣ <t ] 综上得,合适前提的 m=2k﹣[ 【点评】本题次要考查古典概率模子,计数道理,分类会商思惟等根本学问和根基技术,考 查笼统的思惟, 逻辑推理能力, 运算求解能力, 以及使用数学学问阐发处理现实问题的能力, 本题易由于审题时不大白事务的景象而导致无法下手, 或者由于分类不清未能准确分类导致 失分 第 21 页(共 22 页) 参取本试卷答题和审题的教员有:sxs123;minqi5;沂蒙松;lincy;豫汝王世崇;wyz123; 柏;caoqz;xintrl(排名不分先后) 菁优网 2016 年 9 月 12 日 第 22 页(共 22 页)

  2013年安徽省高考数学试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只要一个合适题 目要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单元, 是复