不必要由其他果断加以证真的命题战道理故是;

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每小题 5 分,是复数每小题给出的四个选项中,只需一个合适题目问题要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单位,2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析_高考_高中教育_教育专区。

2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只需一个合适题目问题要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i 2. (5 分) (2013?安徽)如图所示,法度框图(算法流程图)的输出功效中( ,则 z=( ) D.﹣1﹣i ) A. B. C. D. 3. (5 分) (2013?安徽)不才列命题中,不是的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不正正在同一曲线上的三个点,有且只需一个平面 C. 若是一条曲线上的两点正正在同一个平面内,那么这条曲线上所以点都正正在此平面内 D.若是两个不沉合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共曲线”是”函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不需要前提 B. 需要不充分前提 C. 充分需要条 D.既不充分也不需要前提 ) 5. (5 分) (2013?安徽)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生 正正在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分袂为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分袂为 88,93,93,88, 93,下列说法精确的是( ) A.这种抽样体例是一种分层抽样 B. 这种抽样体例是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 6. (5 分) (2013?安徽) 已知一元二次不等式 f (x) <0 的解集为{xx<﹣1 或 x> }, 则f (10 ) >0 的解集为 ( A.{xx<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x<﹣1<x<﹣lg2} C.{xx>﹣lg2} D.{xx<﹣lg2} ) x ) 7. (5 分) (2013?安徽)正正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂曲于极轴的两条切线方程分袂为( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 B. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 C. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 8. (5 分) (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,正正在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不合的数 x1,x2,…, xn,使得 =…= ,则 n 的取值范围是( ) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 9. (5 分) (2013?安徽)正正在平面曲角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满脚 = =2,则点 集{P A. , B. 3 ,λ、μ∈R}所暗示的区域面积是( C. 2 ) D. 10. (5 分) (2013?安徽)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x) ) 2 +2af(x)+b=0 的不合实根个数是( ) A .3 B.4 C .5 D.6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把谜底填写正正在答题卡上 11. (5 分) (2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a= _________ . 4 12. (5 分) (2013?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分袂为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C= _________ . 13. (5 分) (2013?安徽)已知曲线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存正正在点 C,使得∠ ACB 为曲角, 则 a 的取值范围为 _________ . 14. (5 分) (2013?安徽)如图,互不不异的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分袂正正在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等,设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式 是 _________ . 2 15. (5 分) (2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线 上的动点, 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题精确的是 _________ (写出所有精确命题的编 号) . ① 当 0<CQ< 时,S 为四边形 ② 当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③ 当 CQ= 时,S 取 C1D1 的交点 R 满脚 C1R= ④ 当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤ 当 CQ=1 时,S 的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字申明、证明过程或演算骤 16. (12 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)会商 f(x)正正在区间[0, ]上的单调性. 2 2 ) (ω>0)的最小正周期为 π. 17. (12 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={xf (x)>0} (Ⅰ )求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α) ; (Ⅱ )给定 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 18. (12 分) (2013?安徽)设椭圆 E: 的焦点正正在 x 轴上 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2) 设 F1, F2 分袂是椭圆 E 的左、 左焦点, P 为椭圆 E 上第一象限内的点, 曲线P 交 y 轴于点 Q, 并且 F1P⊥ F1Q, 证明:当 a 变化时,点 P 正正在某定曲线?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线°,AB 和 CD 是底 面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 取平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 取平面 PCD 的交线)求 cos∠ COD. 20. (13 分) (2013?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ (1)对每个 n∈N+,存正正在独一的 xn ,满脚 fn(xn)=0; ) ,证明: (2)对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 21. (13 分) (2013?安徽)某高校数学系筹算正正在周六和周日各举行一次从题不合的心理测试勾当,分袂由和 张教员担任,已知该系共有 n 位学生,每次勾当均需该系 k 位学生插手(n 和 k 都是固定的正整数) ,假设和 张教员分袂将各自勾当通知的动静、随机地发给该系 k 位学生,且所策动静都能收到,记该系收到或张 教员所发勾当通知动静的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到或张教员所发勾当通知动静的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 2013 年安徽省高考数学试卷(理科) 参考谜底取试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只需一个合适题目问题要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i ,则 z=( ) D.﹣1﹣i 考点: 复数代数形式的同化运算;复数相等的充要前提. 专题: 算计题. 分析: 设出复数 z=a+bi(a,b∈R) ,代入 后拾掇,把持复数相等的前提列关于 a,b 的方程组求解 a, b,则复数 z 可求. 解答: 解:设 z=a+bi(a,b∈R) ,则 , 765254 由 ,得(a+bi) (a﹣bi)i=2(a+bi) , 2 2 拾掇得 2+(a +b )i=2a+2bi. 则 ,解得 . 所以 z=1+i. 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的同化运算,考查了复数相等的前提,两个复数相等,当且仅当是不等于实部, 虚部等于虚部,是底子题. 2. (5 分) (2013?安徽)如图所示,法度框图(算法流程图)的输出功效中( ) A. B. C. D. 考点: 法度框图. 专题: 图表型. 分析: 分析法度中各变量、各语句的传染感动,分析可知:该法度的传染感动是算计并输出 S= + + 的值,并输出. 765254 解答: 解:分析法度中各变量、各语句的传染感动, 再按照流程图所示的挨次,可知: 该法度的传染感动是算计并输出 S= + + 的值 ∵ S= + + = . 故选 D. 点评: 按照流程图(或伪代码)写法度的运转功效,是算法这一模块最次要的题型,其措置体例是: :① 分析流程 图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出算计的类型,又要分析出参取算计的数据(若是参取 运算的数据比较多,也可操纵表格对数据进行分析打点)?② 成立数学模型,按照第一步分析的功效,选择 适当的数学模型③ 解模. 3. (5 分) (2013?安徽)不才列命题中,不是的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不正正在同一曲线上的三个点,有且只需一个平面 C. 若是一条曲线上的两点正正在同一个平面内,那么这条曲线上所以点都正正在此平面内 D.若是两个不沉合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共曲线 考点: 平面的根底性质及推论. 专题: 规律型. 分析: 按照的定答即可.颠末人类持久几次的实践检验是实正正在的,不需要由其他判断加以证明的命题和 事理就是. 解答: 解:B,C,D 颠末人类持久几次的实践检验是实正正在的,不需要由其他判断加以证明的命题和事理故是; 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是不是. 故选 A. 点评: 本题考查了的意义,比较简单. 765254 4. (5 分) (2013?安徽)“a≤0”是”函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不需要前提 B. 需要不充分前提 C. 充分需要条 D.既不充分也不需要前提 ) 考点: 需要前提、充分前提取充要前提的判断. 专题: 函数的性质及利用. 分析: 先看当“a≤0”时,去掉绝对值,连络二次函数的图象求出函数 f(x)=(ax﹣1)x可否正正在正正在区间(0,+∞) 内单调递增;再反过来当函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0 可否成当即可. 解答: 解:当“a≤0”时,x∈(0,+∞) 765254 f(x)=(ax﹣1)x=﹣a(x﹣ )x,连络二次函数图象可知 函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增. 若 a>0,如取 a=1,则函数 f(x)=(ax﹣1)x=(x﹣1)x,当 x∈(0,+∞)时 f(x)= ,如图所示,它正正在区间(0,+∞)内有增有减, 从而获得函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增得出 a≤0. ”a≤0”是”函数 f(x)=(ax﹣1)x正正在区间(0,+∞)内单调递增”的充要前提. 故选 C. 点评: 本题次要考查了需要前提、充分前提取充要前提的判断,函数的单调性及单调区间,单调性是函数的次要 性质,属于底子题. 5. (5 分) (2013?安徽)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生 正正在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分袂为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分袂为 88,93,93,88, 93,下列说法精确的是( ) A.这种抽样体例是一种分层抽样 B. 这种抽样体例是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 考点: 极差、方差取标准差. 专题: 概率取统计. 分析: 按照抽样体例可知,这种抽样体例是一种简单随机抽样.按照平均数的定义:平均数是斧正正在一组数据中所 765254 无数据之和再除以数据的个数;方差公式:s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ]求解即可. 解答: 解:按照抽样体例可知,这种抽样体例是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= [(86﹣90) +(94﹣90) +(88﹣90) +(92﹣90) +(90﹣90) ]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= [(88﹣91) +(93﹣91) +(93﹣91) +(88﹣91) +(93﹣91) ]=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差. 故选 C. 点评: 本题考查了抽样体例、平均数以及方差的求法,要想求方差,必需先求出这组数据的平均数,然后再按照 方差公式求解. x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. (5 分) (2013?安徽) 已知一元二次不等式 f (x) <0 的解集为{xx<﹣1 或 x> }, 则f (10 ) >0 的解集为 ( A.{xx<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x<﹣1<x<﹣lg2} C.{xx>﹣lg2} D.{xx<﹣lg2} ) 考点: 其他不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及利用. 分析: x x 由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的单调性可得解集. 765254 解答: 解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x﹣1<x< }, 故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)必然有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 < x x x x x ,即 10 <10 x ﹣lg2 , 由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选 D 点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及对数函数的单调性及对数的运算,属中档题. 7. (5 分) (2013?安徽)正正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂曲于极轴的两条切线方程分袂为( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 B. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 C. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 ) 考点: 专题: 分析: 解答: 简单曲线的极坐标方程;圆的切线方程. 曲线取圆. 把持圆的极坐标方程和曲线的极坐标方程即可得出. 解:如图所示,正正在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 是以(1,0)为圆心,1 为半径的圆. 765254 故圆的两条切线方程分袂为 故选 B. (ρ∈R) ,ρcosθ=2. 点评: 精确理解圆的极坐标方程和曲线的极坐标方程是解题的环节》 8. (5 分) (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,正正在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不合的数 x1,x2,…, xn,使得 =…= ,则 n 的取值范围是( ) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 考点: 变化的快慢取变化率. 专题: 函数的性质及利用. 765254 分析: 解答: 由 解:∵ 暗示(x,f(x) )点取原点连线的斜率,连络函数 y=f(x)的图象,数形连络分析可得谜底. 暗示(x,f(x) )点取原点连线的斜率 若 =…= , 则 n 可以或许是 2,如图所示: n 可以或许是 3,如图所示: n 可以或许是 4,如图所示: 但 n 不成能大于 4 故选 B 点评: 本题考查的学问点是斜率公式,精确理解 暗示(x,f(x) )点取原点连线的斜率是解答的环节. 9. (5 分) (2013?安徽)正正在平面曲角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满脚 = =2,则点 集{P A. , B. ,λ、μ∈R}所暗示的区域面积是( C. ) D. 考点: 平面向量的根底及其意义;二元一次不等式(组)取平面区域;向量的模. 专题: 平面向量及利用. 765254 分析: 由两定点 A,B 满脚 = =2,申明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形,设出两个 定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量根底,把 P 的坐标用 A,B 的坐标及 λ,μ 暗示,把不等式 λ+μ≤1 去绝对值后可得线性束缚前提,画出可行域可求点集 P 所暗示区域的面积. 解答: 解:由两定点 A,B 满脚 不妨设 A( 由 ) ,B( ,得: . = =2,申明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形. ) .再设 P(x,y) . 所以 ,解得 ① . 由λ+μ≤1. 所以① 等价于 或 或 或 . 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域, 则区域面积为 . 故选 D. 点评: 本题考查了平面向量的根底及其意义,考查了二元一次不等式(组)所暗示的平面区域,考查了数学 思惟体例,解答此题的环节正正在于读懂题意,属中档题. 10. (5 分) (2013?安徽)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x) ) 2 +2af(x)+b=0 的不合实根个数是( ) A .3 B.4 C .5 D.6 考点: 函数正正在某点取得极值的前提;根的存正正在性及根的个数判断. 专题: 阐发题;导数的阐发利用. 2 2 分析: 求导数 f′ (x) ,由题意知 x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的方程 3(f(x) ) +2af(x) +b=0 有两个根,做出草图,由图象可得谜底. 2 2 解答: 解:f′ (x)=3x +2ax+b,x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根, 2 由 3(f(x) ) +2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1) ,x2>x1=f(x1) , 765254 3 2 如下示诡计象: 如图有三个交点, 故选 A. 点评: 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形连络思惟. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把谜底填写正正在答题卡上 11. (5 分) (2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a= 4 . 考点: 二项式系数的性质. 专题: 算计题. 分析: 把持二项式的通项公式即可得出. 解答: 解:由通项公式 Tr+1= 765254 = , ∵ 的展开式中 x 的系数为 7,∴ 4 ,解得 . 故谜底为 . 点评: 熟练节制二项式的通项公式是解题的环节. 12. (5 分) (2013?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分袂为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C= . 考点: 专题: 分析: 解答: 余弦;正弦. 解三角形. 由 3sinA=5sinB,按照正弦,可得 3a=5b,再把持余弦,即可求得 C. 解:∵ 3sinA=5sinB,∴ 由正弦,可得 3a=5b, 765254 ∴ a= ∵ b+c=2a, ∴ c= ∴ cosC= ∵ C∈(0,π) =﹣ ∴ C= 故谜底为: 点评: 本题考查正弦、余弦的利用,考查学生的算计能力,属于底子题. 13. (5 分) (2013?安徽)已知曲线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存正正在点 C,使得∠ ACB 为曲角, 则 a 的取值范围为 [1,+∞) . 考点: 曲线取圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质取方程. 分析: 如图所示,可知 A ,B 765254 2 ,设 C(m,m ) ,由该抛物线上存正正在点 C,使得∠ ACB 2 为曲角,可得 =0.即可获得 a 的取值范围. ,B , , . 解答: 解:如图所示,可知 A 设 C(m,m ) , 2 ∵ 该抛物线上存正正在点 C,使得∠ ACB 为曲角, ∴ 2 = 2 2 . 化为 m ﹣a+(m ﹣a) =0. 2 ∵ m ,∴ m =a﹣1≥0,解得 a≥1. ∴ a 的取值范围为[1,+∞) . 故谜底为[1,+∞) . 点评: 本题考查了若何暗示抛物线上点的坐标、垂曲于数量积得关系等底子学问,考查了推理能力和算计能力. 14. (5 分) (2013?安徽)如图,互不不异的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分袂正正在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等,设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式 是 . 考点: 数列的利用;数列的函数特征. 765254 专题: 等差数列取等比数列. 分析: 设 ,把持已知可得 A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,获得 = = ,梯形 A1B1B2A2 的面积=3S.由已知可得梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S.把持雷同三角形的性质面积的比等于相 似比的平方可得: , , ,…,已知 , ,可得 ,….因此数列 { }是一个首项为 1,公差为 3 等差数列,即可获得 an. ,∵ OA1=a1=1,OA2=a2=2,A1B1∥ A2B2, 解答: 解:设 ∴ A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,∴ 故梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S. = = ,∴ 梯形 A1B1B2A2 的面积=3S. ∵ 所有 AnBn 相互平行,∴ 所有△ OAnBn(n∈N )都雷同,∴ ∵ ∴ 数列{ ∴ ,∴ , ,…. * , , ,…, }是一个等差数列,其公差 d=3,故 . . =1+(n﹣1)×3=3n﹣2. 因此数列{an}的通项公式是 故谜底为 . 点评: 本题阐发考查了三角形的中位线、雷同三角形的性质、等差数列的通项公式等底子学问和根底手艺, 考查了推理能力和算计能力. 15. (5 分) (2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线 上的动点, 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题精确的是 ① ② ③ ⑤ (写出所有精确命题的编号) . ① 当 0<CQ< 时,S 为四边形 ② 当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③ 当 CQ= 时,S 取 C1D1 的交点 R 满脚 C1R= ④ 当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤ 当 CQ=1 时,S 的面积为 . 考点: 命题的判断取利用. 专题: 算计题. 分析: 由题意做出满脚前提的图形,由线面关系找出截面可判断选项的正误. 解答: 765254 解:如图 当 CQ= 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ∥ AD1,AP=QD1= 故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故② 精确; 由上图当点 Q 向 C 挪动时,满脚 0<CQ< ,只需正正在 DD1 上取点 M 满脚 AM∥ PQ, 即可得截面为四边形 APQM,故① 精确; = , ③ 当 CQ= 时,如图, 耽搁 DD1 至 N,使 D1N= ,连接 AN 交 A1D1 于 S,连接 NQ 交 C1D1 于 R,连接 SR, 可证 AN∥ PQ,由△ NRD1∽ △ QRC1,可得 C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得 C1R= ,故精确; ④ 由③ 可知当 <CQ<1 时,只需点 Q 上移即可,此时的截面外形仍然上图所示的 APQRS,较着为五边形, 故错误; ⑤ 当 CQ=1 时,Q 取 C1 沉合,取 A1D1 的中点 F,连接 AF,可证 PC1∥ AF,且 PC1=AF, 可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 AC1?PF= = ,故精确. 故谜底为:① ② ③ ⑤ 点评: 本题考查命题的判断取利用,涉及正方体的截面问题,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字申明、证明过程或演算骤 16. (12 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)会商 f(x)正正在区间[0, ]上的单调性. ) (ω>0)的最小正周期为 π. 考点: 两角和取差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像取性质. 分析: (1)先把持和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期, 求实数 ω 的值; 765254 (2)由于 x 是[0, ]上的单调性. 解答: ]范围内的角,获得 2x+ 的范围,然后通过正弦函数的单调性求出 f(x)正正在区间[0, 解: (1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ ω=1. )=2 sinωx?cosωx+2 )+ , cos ωx 2 =2sin(2ωx+ 所以 T= (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤ ≤2x+ ≤ , )+ , 时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤ 时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上单调减. 所以 f(x)正正在区间[0, ]上单调增,正正在区间[ 点评: 本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的利用,寄望三角函数值的变换,考查算计能力,常考题型. 17. (12 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={xf (x)>0} (Ⅰ )求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α) ; (Ⅱ )给定 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 考点: 导数的运算;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及利用. 分析: (Ⅰ )解不等式 f(x)>0 可得区间 I,由区间长度定义可得 I 的长度; 765254 2 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )构制函数 d(a)= ,把持导数可判断 d(a)的单调性,由单调性可判断 d(a)的最小值 必定正正在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,通过做商比较可得谜底. 2 2 解答: 解: (Ⅰ )因为方程 ax﹣(1+a )x =0(a>0)有两个实根 x1=0, >0, 故 f(x)>0 的解集为{xx1<x<x2}, 因此区间 I=(0, ) ,区间长度为 ; (Ⅱ )设 d(a)= ,则 d′ (a)= , 令 d′ (a)=0,得 a=1,由于 0<k<1, 故当 1﹣k≤a<1 时,d′ (a)>0,d(a)单调递增;当 1<a≤1+k 时,d′ (a)<0,d(a)单调递减, 因此当 1﹣k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定正正在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得, 而 = <1,故 d(1﹣k)<d(1+k) , 因此当 a=1﹣k 时,d(a)正正在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值 ,即 I 长度的最小值为 . 点评: 本题考查二次不等式的求解,以及导数的算计和利用等底子学问和根底手艺,考查分类会商思惟和阐发运 用数学学问处置问题的能力. 18. (12 分) (2013?安徽)设椭圆 E: (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; 的焦点正正在 x 轴上 (2) 设 F1, F2 分袂是椭圆 E 的左、 左焦点, P 为椭圆 E 上第一象限内的点, 曲线P 交 y 轴于点 Q, 并且 F1P⊥ F1Q, 证明:当 a 变化时,点 P 正正在某定曲线上. 考点: 曲线取圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质取方程. 分析: (1)把持椭圆的标准方程和几何性质即可得出 765254 ,解出即可; .把持斜率的算计公式和点斜式即可得 (2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中 出曲线P 的斜率 = , 曲线P 的方程为 . 即可得出 Q . 得 到曲线Q 的斜率 = .把持 F1Q⊥ F1P,可得 = .化为 .取椭圆的方程联当即可解出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)∵ 椭圆 E 的焦距为 1,∴ ,解得 . 故椭圆 E 的方程为 . (2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中 . 由题设可知:x0≠c.则曲线P 的斜率 = ,曲线P 的斜率 = . 故曲线P 的方程为 . 令 x=0,解得 .即点 Q . 因此曲线Q 的斜率 = . ∵ F1Q⊥ F1P,∴ 化为 = . . 联立 ,及 x0>0,y0>0, 解得 . . 即点 P 正正在定曲线 上. 点评: 本题次要考查了椭圆的标准方程及其几何性质,曲线和曲线、曲线和椭圆的关系等底子学问和根底技 能,看出数形连络的思惟、推理能力和算计能力. 19. (13 分) (2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线°,AB 和 CD 是底 面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 取平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 取平面 PCD 的交线)求 cos∠ COD. 考点: 曲线取平面所成的角;空间中曲线取曲线之间的关系;空间中曲线取平面之间的关系;平面取平 面之间的关系. 专题: 空间关系取距离;空间角. 分析: (1)把持线面平行的判定取性质,可证平面 PAB 取平面 PCD 的交线) 先做出 OP 取平面 PCD 所成的角, 再求出 OC, OF, 求出 cos∠ COF, 把持二倍角公式, 即可求得 cos∠ COD. 解答: (1)证明:设平面 PAB 取平面 PCD 的交线为 l,则 ∵ AB∥ CD,AB?平面 PCD,∴ AB∥ 平面 PCD ∵ AB?面 PAB,平面 PAB 取平面 PCD 的交线为 l,∴ AB∥ l ∵ AB 正正在底面上,l 正正在底面外 ∴ l 取底面平行; (2)解:设 CD 的中点为 F,连接 OF,PF 765254 由圆的性质,∠ COD=2∠ COF,OF⊥ CD ∵ OP⊥ 底面,CD?底面,∴ OP⊥ CD ∵ OP∩ OF=O ∴ CD⊥ 平面 OPF ∵ CD?平面 PCD ∴ 平面 OPF⊥ 平面 PCD ∴ 曲线 OP 正正在平面 PCD 上的射影为曲线 PF ∴ ∠ OPF 为 OP 取平面 PCD 所成的角 由题设,∠ OPF=60° 设 OP=h,则 OF=OPtan∠ OPF= ∵ ∠ OCP=22.5°,∴ ∵ tan45°= ∴ tan22.5°= ∴ OC= = = 2 =1 正正在 Rt△ OCF 中,cos∠ COF= = ∴ cos∠ COD=cos(2∠ COF)=2cos ∠ COF﹣1=17﹣12 点评: 本题考查线面平行的判定取性质,考查空间角,考查学生的算计能力,精确找出线?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+ (1)对每个 n∈N+,存正正在独一的 xn ,满脚 fn(xn)=0; ) ,证明: (2)对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 考点: 反取放缩法;函数的零点;导数的运算;数列的乞降;数列取不等式的阐发. 专题: 等差数列取等比数列;不等式的解法及利用. + 分析: 题干错误:n∈N ,理当是对每个 n∈N+, 765254 (1)由题意可得 f′ (x)>0,函数 f(x)正正在(0,+∞)上是增函数.求得 fn(1)>0,fn( )<0,再根 据函数的零点的判定,可得要证的结论成立. (2)由题意可得 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 正正在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1 <xn,故 xn﹣xn+p>0.用 fn(x)的解析式减去 fn+p (xn+p)的 解析式,变形可得 xn﹣xn+p= 综上可得要证的结论成立. + ,再进行放大,并裂项乞降,可得它小于 , 解答: 证明: (1)对每个 n∈N+,当 x>0 时,由函数 fn(x)=﹣1+x+ ) ,可得 f′ (x)=1+ + +… >0,故函数 f(x)正正在(0,+∞)上是增函数. + + …+ >0,即 fn(1)>0. 由于 f1(0)=0,当 n≥2 时,fn(1)= 又 fn( )=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣ + ? =﹣ + × =﹣ ? <0, 按照函数的零点的判定,可得存正正在独一的 xn + ,满脚 fn(xn)=0. (2)对于肆意 p∈N ,由(1)中 xn 构成数列{xn},当 x>0 时,∵ fn+1(x)=fn(x)+ >fn(x) , ∴ fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x) 正正在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故数列{xn}为减数列,即对肆意 的 n、p∈N+,xn﹣xn+p>0. 由于 fn(x)=﹣1+xn+ + +…+ =0 ① , fn+p (xn+p)=﹣1+xn+p+ + +…+ +[ + +…+ ]② , 用① 减去② 并移项,把持 0<xn+p≤1,可得 xn﹣xn+p= + ≤ ≤ < = < . 综上可得,对于肆意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满脚 0<xn﹣xn+p< . 点评: 本题次要考查函数的导数及利用,函数的零点的判定,等比数列乞降以及用放缩法证明不等式,还考查推 理以及运算求解能力,属于难题. 21. (13 分) (2013?安徽)某高校数学系筹算正正在周六和周日各举行一次从题不合的心理测试勾当,分袂由和 张教员担任,已知该系共有 n 位学生,每次勾当均需该系 k 位学生插手(n 和 k 都是固定的正整数) ,假设和 张教员分袂将各自勾当通知的动静、随机地发给该系 k 位学生,且所策动静都能收到,记该系收到或张 教员所发勾当通知动静的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到或张教员所发勾当通知动静的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 考点: 概率的利用;古典概型及其概率算计公式;计数事理的利用. 专题: 阐发题;分类会商;思惟;概率取统计. 分析: (I)由题设,两位教员发送动静是的,要算计该系学生甲收到或张教员所发勾当通知动静的概 765254 率可先算计其对立事务,该生没有接到任一位教员发送的动静的概率,把持概率的性质求解; (II)由题意,要先研究随机变量 X 的取值范围,由于 k≤n 故要分两类 k=n 取 k<n 进行研究,k=n 时易求, k<n 时, 要研究出同时接遭到两位教员动静的人数, 然后再研究事务所包含的根底事务数, 暗示出 P (X=m) , 再按照其形式研究它取得最大值的整数 m 即可. 解答: 解: (I)因为事务 A:“学生甲收到所策动静”取事务 B:“学生甲收到张教员所策动静”是相互事 件,所以 取 相互,由于 P(A)=P(B)= = ,故 P( )=P( )=1﹣ , 因此学生甲收到勾当动静的概率是 1﹣(1﹣ ) = (II)当 k=n 时,m 只能取 n,此时有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k<n 时,整数 m 满脚 k≤m≤t,其中 t 是 2k 和 m 中的较小者,由于“取张教员各自、随机地发 送勾当动静给 k 位”所包含的根底事务总数为( ) ,当 X=m 时,同时收到两位教员所策动静的学生人数 2 2 为 2k﹣m,仅收到或张教员转策动静的学生人数为 m﹣k,由乘法事理知:事务{X=m}所包含的根底 事务数为 P(X=M)= = 当 k≤m<t 时,P(X=M)<P(X=M+1)?(m﹣k+1)2≤(n﹣m) (2k﹣m)?m≤2k﹣ 假如 k≤2k﹣ <t 成立,则当(k+1) 能被 n+2 整除时, 2 k≤2k﹣ 达到最大值; <2k+1﹣ <t,故 P(X=M)正正在 m=2k﹣ 和 m=2k+1﹣ 处 当(k+1) 不能被 n+2 整除时,P(X=M)正正在 m=2k﹣[ 最大整数) , 下面证明 k≤2k﹣ <t 2 ]处达到最大值(注:[x]暗示不逾越 x 的 因为 1≤k<n,所以 2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0 而 2k﹣ ﹣n= <0,故 2k﹣ <n,较着 2k﹣ <2k 因此 k≤2k﹣ <t 点评: 本题次要考查古典概率模型,计数事理,分类会商思惟等底子学问和根底手艺,考查笼统的思惟,逻辑推 理能力,运算求解能力,以及利用数学学问分析处置现实问题的能力,本题易因为审题时不大白事务的情 形而导致无法下手,或者因为分类不清未能精确分类导致失分